Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(1.\text{ }\text{ }\text{ }\dfrac{\left(x^2+2\right)^2-4x^2}{y\left(x^2+2\right)-2xy-\left(x-1\right)^2-1}\\ =\dfrac{\left(x^2+2-2x\right)\left(x^2+2+2x\right)}{x^2y+2y-2xy-x^2+2x-1-1}\\ =\dfrac{\left(x^2+2-2x\right)\left(x^2+2+2x\right)}{\left(x^2y-x^2\right)-\left(2xy-2x\right)+\left(2y-2\right)}\\ =\dfrac{\left(x^2+2-2x\right)\left(x^2+2+2x\right)}{x^2\left(y-1\right)-2x\left(y-1\right)+2\left(y-1\right)}\\ =\dfrac{\left(x^2+2-2x\right)\left(x^2+2+2x\right)}{\left(x^2-2x+2\right)\left(y-1\right)}\\ =\dfrac{x^2+2x+2}{y-1}\)
\(2.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\dfrac{x^2+5x+6}{x^2+3x+2}\\ =\dfrac{x^2+3x+2x+6}{x^2+2x+x+2}\\ =\dfrac{\left(x^2+3x\right)+\left(2x+6\right)}{\left(x^2+2x\right)+\left(x+2\right)}\\ =\dfrac{x\left(x+3\right)+2\left(x+3\right)}{x\left(x+2\right)+\left(x+2\right)}\\ =\dfrac{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}\\ =\dfrac{x+3}{x+1}\)
\(3.\text{ }\text{ }\text{ }\dfrac{x^2+y^2-z^2-2zt+2xy-t^2}{x^2-y^2+z^2-2yt+2xz-t^2}\text{ ( Chữa đề ) }\\ =\dfrac{\left(x^2+2xy+y^2\right)-\left(z^2+2zt+t^2\right)}{\left(x^2+2xz+z^2\right)-\left(y^2+2yt+t^2\right)}\\ =\dfrac{\left(x+y\right)^2-\left(z+t\right)^2}{\left(x+z\right)^2-\left(y+t\right)^2}\\ =\dfrac{\left(x+y+z+t\right)\left(x+y-z-t\right)}{\left(x+z+y+t\right)\left(x+z-y-t\right)}\\ =\dfrac{x+y-z-t}{x+z-y-t}\)
\(4.\text{ }\text{ }\text{ }\dfrac{\left(n+1\right)!}{\left(n+1\right)!+\left(n+2\right)!}=\dfrac{\left(n+1\right)!}{\left(n+1\right)!\left(1+n+2\right)}=\dfrac{1}{n+3}\)
\(5.\text{ }\text{ }\text{ }\dfrac{x^2+5x+4}{x^2-1}\\ =\dfrac{x^2+x+4x+4}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\\ =\dfrac{\left(x^2+x\right)+\left(4x+4\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\\ =\dfrac{x\left(x+1\right)+4\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\\ =\dfrac{\left(x+1\right)\left(x+4\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\\ =\dfrac{x+4}{x-1}\)
\(6.\text{ }\text{ }\text{ }\dfrac{x^2-3x}{2x^2-7x+3}\\ =\dfrac{x\left(x-3\right)}{2x^2-6x-x+3}\\ =\dfrac{x\left(x-3\right)}{\left(2x^2-6x\right)-\left(x-3\right)}\\ =\dfrac{x\left(x-3\right)}{2x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)}\\ =\dfrac{x\left(x-3\right)}{\left(2x-1\right)\left(x-3\right)}\\ =\dfrac{x}{2x-1}\)
Đặt \(A=\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(x+z\right)}\)
\(\Rightarrow F-A=\frac{x^4-y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^2-z^2}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4-x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}=0\)
\(\Rightarrow F=A\)
\(\Rightarrow2F=F+A=\frac{x^4+y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4+z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4+x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
\(\Rightarrow2F\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{\left(y^2+z^2\right)^2}{2\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{\left(z^2+x^2\right)^2}{2\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
\(\Rightarrow2F\ge\frac{x^2+y^2}{2\left(x+y\right)}+\frac{y^2+z^2}{2\left(y+z\right)}+\frac{z^2+x^2}{2\left(z+x\right)}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)}+\frac{\left(y+z\right)^2}{4\left(y+z\right)}+\frac{\left(z+x\right)^2}{4\left(z+x\right)}\)
\(\Rightarrow2F\ge\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{2}\Rightarrow F\ge\frac{1}{4}\)
\(F_{min}=\frac{1}{4}\) khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
\(1)\left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt {4 - \sqrt {15} } } \right)\\ = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + \sqrt {150} - \sqrt {90} } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \\ = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + 5\sqrt 6 - 3\sqrt {10} } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \\ = \left( {\sqrt {10} + \sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \\ = \sqrt {10\left( {4 - \sqrt {15} } \right)} + \sqrt {6\left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \\ = \sqrt {40 - 10\sqrt {15} } + \sqrt {24 - 6\sqrt {15} } \\ = \sqrt {{{\left( {5 - \sqrt {15} } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {15} } \right)}^2}} \\ = 5 - \sqrt {15} + \sqrt {15} - 3 = 2\)
2) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
\(\dfrac{{{x^2}}}{{y + z}} + \dfrac{{y + z}}{4} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{{y + z}}.\dfrac{{y + z}}{4}} = x(1)\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\dfrac{{{y^2}}}{{z + x}} + \dfrac{{z + x}}{4} \ge y\left( 2 \right)\\ \dfrac{{{z^2}}}{{x + y}} + \dfrac{{x + y}}{4} \ge z\left( 3 \right) \)
Từ (1), (2), (3) ta có ngay:\(\left(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4}\right)+ \left(\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z+x}{4}\right)+\left( \dfrac{z^2}{x+y} +\dfrac{x+y}{4}\right)\geqslant x+y+z\\ \iff\dfrac{x^2}{y+z}+ \dfrac{y^2}{z+x}+ \dfrac{z^2}{x+y}\geqslant \dfrac{x+y+z}{2} \)
Chú ý rằng \(x+y+z=2\), ta có ngay\(\dfrac{x^2}{y+z}+ \dfrac{y^2}{z+x}+ \dfrac{z^2}{x+y}\geqslant 1\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $1$, đạt được khi $x=y=z=\dfrac{2}{3}$.
Haizzz bị lỗi công thức suốt :((
Gọi cái biểu thức đó là P nha
Trước tiên chứng minh:
\(\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}-\left(\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4-y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4-z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4-x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
\(\Leftrightarrow x-y+y-z+z-x=0\)( đúng )
Giờ ta quay lại bài toán ban đầu
Ta có:
\(\Leftrightarrow2P=\frac{x^4+y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4+z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4+x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
\(\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{\left(y^2+z^2\right)^2}{2\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{\left(z^2+x^2\right)^2}{2\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{x^2+y^2}{2\left(x+y\right)}+\frac{y^2+z^2}{2\left(y+z\right)}+\frac{z^2+x^2}{2\left(z+x\right)}\)
\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)}+\frac{\left(y+z\right)^2}{4\left(y+z\right)}+\frac{\left(z+x\right)^2}{4\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{x+y}{4}+\frac{y+z}{4}+\frac{z+x}{4}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{4}\)
tuổi con HN là :
50 : ( 1 + 4 ) = 10 ( tuổi )
tuổi bố HN là :
50 - 10 = 40 ( tuổi )
hiệu của hai bố con ko thay đổi nên hiệu vẫn là 30 tuổi
ta có sơ đồ : bố : |----|----|----|
con : |----| hiệu 30 tuổi
tuổi con khi đó là :
30 : ( 3 - 1 ) = 15 ( tuổi )
số năm mà bố gấp 3 tuổi con là :
15 - 10 = 5 ( năm )
ĐS : 5 năm
mình nha
tuổi con HN là :
50 : ( 1 + 4 ) = 10 ( tuổi )
tuổi bố HN là :
50 - 10 = 40 ( tuổi )
hiệu của hai bố con ko thay đổi nên hiệu vẫn là 30 tuổi
ta có sơ đồ : bố : |----|----|----|
con : |----| hiệu 30 tuổi
tuổi con khi đó là :
30 : ( 3 - 1 ) = 15 ( tuổi )
số năm mà bố gấp 3 tuổi con là :
15 - 10 = 5 ( năm )
ĐS : 5 năm
mình nha